Mérő László a matematikatanításról
Mire való a matematika tanítása? Bölcsesség vagy frusztráció?

Általában azt gondoljuk, hogy a matematika az absztrakciót, a problémamegoldást, a lényeglátást segíti. Könnyen lehet azonban hogy egyáltalán nem erről van szó...
Mérő László matematikussal beszélget Kónya Anikó, a Tandem szerkesztője. A cikket a pszihologiaonline oldalról vettük át

Kónya Anikó: A matematikatanításról az az általános vélemény, hogy segíti az absztrakciós képesség kialakulását. Valójában mi adható át a matematikatanítás által?

Mérő László
: Biztos, hogy többet kellene átadnunk, mint amennyit mondunk. Azt nem tudom, hogy mi és mennyire adható át. Bizonyos dolgok átadhatóak - elmondható az, hogy például a szövegszerkesztőben hogyan kell áthelyezni egy szöveget. Elmondom, hogy például "ha meg akarod keresni, hogy hol szerepel a szövegedben a tudás szó, akkor azt így és így kell megkeresned"- és megkeresik. Tehát nem tudták előtte, hogy hogyan kell megkeresni, most meg tudják. Abban elég erősen kételkedem, hogy ennél bármi valamivel általánosabb átadható-e.
Sokat merengtem azon, hogy mire való egyáltalán a matematikatanítás. Mert a matematika lenne az a tárgy, ahol elvileg többet kellene átadnunk, mint amennyit konkrétan mondunk. Ha például a történelemben én megmondom, hogy mikor volt a rigómezei csata, akkor ezzel magánál a ténynél sokkal többet nem mondtam. Azt várom el, hogy az érettségin, vagy a vizsgán, vagy valamikor az életben tudja, hogy mikor volt a rigómezei csata, hogy Hunyadi János és a törökök voltak a szereplői, lehetőleg ne helyezze az amerikai függetlenségi háborúba. De ettől még nem várom el, hogy tudja azt is, mikor volt a karlócai béke. De ha egy matekfeladat megoldását mondom el, akkor igazából nem azt várom, hogy a konkrét feladatot - hogy "8 és fél óra alatt, hogyha ide megyek, meg oda, eközben a légy amoda repül" - meg tudja oldani; minimum azt várom, hogy azt is meg tudja mondani, hogy ha "10 és fél óra alatt repül", akkor mennyi lesz. Valójában még azt is elvárná az ember, hogy ha "nem légy repül, hanem gödröt ásnak és nem... és... és... és...", akkor is meg tudja oldani.
Ezért gondolkoztam azon, hogy a matematikában mi adható át és mi nem - elég szomorúak a tapasztalatok. Tudniillik a matematikából valójában még az értelmes emberek jelentős része számára is csak olyasmi adható át, hogy mikor volt a rigómezei csata, vagyis hogy egy-egy konkrét feladatot hogyan kell megoldani. Azt meg tudja oldani, és ha egy kicsit is más ruhába öltöztetem, akkor élesen elválik az, hogy ki tehetséges a matekhoz, és ki nem - mert aki tehetséges, az úgyis tudja. De ő valószínűleg anélkül is tudta, hogy elmondtam volna neki. Legfeljebb valami félmondat volt, ami megragadta a figyelmét, hogy "ja, ez erre kell", "a többi az oké, tudom".
Elgondolkodtam például azon, hogy mire való egyáltalán a matematika mint tantárgy, ha ennyire kevés általánosságot sikerül átadnunk. A szokásos magyarázat persze az, hogy fejleszti a logikus gondolkodást, fejleszti az absztrakt képességeket, egy csomó praktikus ismeretet is ad, mert meg fogjuk tudni mondani, hogy "mikor érünk Bagdadba" vagy "mennyi krumpli kell ahhoz, hogy huszonöt személyre megfőzzük az akármit", de valójában ezeket sokkal konkrétabban is át lehetne adni, körülbelül olyan szinten, mint hogy mikor volt a rigómezei csata. A matematika azért ennél ambiciózusabb. Még az általános iskolás matek is.
Arra jöttem rá, hogy a matematika tulajdonképpen nem arra való, hogy közvetlenül tudást adjunk át. A matematika akkor már sokkal inkább arra való, mint mondjuk a testnevelés. A testnevelés sem - meggyőződésem, hogy nem - arra való, hogy mozgáskultúrát tanítson, sem arra, hogy megéreztesse a gyerekekkel a mozgás örömét, nem is arra való, hogy egészséges életmódra neveljen. A testnevelés főképp arra való, hogy megtanuljuk, hol lakik az atyaúristen. Megtanuljuk azt, hogy mit várnak el tőlünk; amit elvárnak, azt úgysem tudjuk tökéletesen teljesíteni - de azért vannak néhányan, akik igen. Ugyanez a helyzet a matekkal is. Vannak néhányan, akik tudják teljesíteni, akik matektehetségek. Röviden: szocializációs tárgy a matek is meg a testnevelés is. És ha már így nézzük, akkor másodlagos kérdés, hogy átad-e valami tudást. Annak átad, aki úgyis tudja, annak nem ad át, aki úgyse tudja.

KA: Valami problémaérzékenységet azért csak ad?

ML: Szerintem azt a legkevésbé. Én pszichológusokat tanítok matekra. Azt látom, hogy egy százfős évfolyamon egy-kettő van, akinek van erre valami problémaérzékenysége, aki ráérez arra, hogy az ilyen fajta feladatokat ilyen próbával szokták csinálni, és hogy itt más a lényeg, tehát máshogy kellene. Mire idejönnek, elvégeztek egy általános iskolát, egy gimnáziumot- és többnyire jeles tanulók voltak. A tornatanár áltatja magát mindenfélével, hogy ő egészséges életre, harmonikus életre tanít. Nem arra tanít. A matektanár sem a problémaérzékenységre vagy absztrakcióra. Tulajdonképpen taníthatna arra, van a mateknak olyan aspektusa, de ez majdhogynem tilos a matekórákon, ahogyan a foci is tilos a tornaórán. És joggal tilos, mert csak nagyon kevés embernél érné el azt a célt, hogy valamit tényleg megtanuljon.

KA: Ez alatt a tényszerű tudást érthetjük?

ML:
A matekban tényszerű tudás nagyon kevés van. Olyan jellegű tudás van, hogy megtanulom: vannak, akik ezt tudják, megtanulom tisztelni azokat, akik tudják, megtanulom, hogy az ilyeneket a tenyerünkön kell hordozni, mert ugyan általában tökhülyék meg zavarosak, de időnként szükség van a tudásukra. Nem azt tanulják meg, hogy én tudjam, hanem hogy ez valami olyan, amit az XY szokott tudni, mert ő olyan elborult matekos. És odamennek az XY-hoz, és megkérdezik tőle. Ami helyes is. Ahhoz, hogy az ember szocializálódjon, szükség van bizonyos mennyiségű frusztrációs gyakorlatra. Erre optimális a matek meg a torna. Kiválóan alkalmasak arra, hogy a szükséges frusztrációmennyiséget szállítsák. A matek éppen azért, mert ennyire nehezen adható át, nagyon értelmes embereknek is, akiknek másfajta az agyberendezésük, másfajta az értelmük. Nem azért nem tudja a többség a problémákat megoldani, mert nincs elég esze hozzá, hiszen van, esetleg kiváló jogász lesz - azért nem tudja megoldani, mert valahogy ez a típusú gondolkodás nem megy neki.

KA: Egy konferencián pár éve bemutattál egy táblázatot, amely szemlélteti, hogy az egyetemi hallgatók attól kezdve, hogy bekerülnek a szakképzésbe, hogyan vesztik el e területen józan eszüket; a nagy mennyiségű szakismeretbe belebutulnak, majd ha sikerül ebből kirúgniuk magukat, úgy "bölccsé", szakértővé válnak. Ez minden területre igaz lehet, és nem is csak az egyetemen szerzett tudásra. Úgy gondolod, hogy a józan ész és a szakértelem két dolog?

ML:
Azt gondolom, hogy ez két egészen különböző dolog. A kettőt valahogyan szét kell szedni - persze csak akinél megvan. Azt is gondolom, hogy ahhoz, hogy valaki magasabb szintre kerüljön, az kell, hogy a józan esze hajlamosítsa arra, hogy a szakmai problémákat lássa meg. Tehát akiknek valahogy magától is bizonyos dolgokra szerveződnek a gondolatai, van hozzá tehetsége. A tehetségre a kedvenc definícióm, hogy tehetséges az, aki többet tud, mint amit tanult. És ezt minden tanár tudja. Beleértve azt a barátomat is, aki egy különleges matektagozaton tanított. Volt egy tanítványa - ma a legjobb matematikusok közé tartozik -, és erre a srácra mondta, hogy folyton az az érzése, a srácnak a fejében ott az összes matematikai struktúra, az ő dolga csak az, hogy megmondja neki a nevüket. Pusztán abból megért egy csomó mindent, ha megmondják a nevét annak, amit már úgyis tud. Jobban fogja tudni kezelni, ha olyan névvel nevezi meg, amely evolúciósan alakult ki - tehát valamit kifejez, valahogy kapcsolódik a többi nevekhez.

KA: Vannak olyan gyerekek, akik nem zsenik, de azért jól boldogulnak. Nekik mit adhat a matematika?

ML:
Kell őket tanítani, és fogékonyak is rá, időről-időre sikerélményük is van benne, de amit megtanultak, amilyen tudást kapnak, az nem matematikai tudás. Írni akartam arról, hogy az egész matematikai oktatás "úgy van elszúrva, ahogyan van". Végül ez az esszé odavezetett engem, hogy ez a matek majdhogynem "úgy jó, ahogy van", csak éppen nem kell, hogy a matematikai tudás legyen a célja - hanem a szocializáció. Megtanítja, hogy "ne add fel, mert azért bizonyos dolgokat meg tudsz csinálni", megtanítja azt is, hogy "azért vannak nálad sokkal jobbak is, akiknek ez így megy", meg hogy "ezt valami másban fogom tudni használni".

KA: Modell a problémamegoldáshoz?

ML:
Szerintem nem. Sőt, kifejezetten téves modellt ad. Ha például az a problémám, hogy üzletet kössek valakivel: tudjuk egymásról, hogy mindkettőnknek érdeke ez az üzlet, van is akkora a torta, hogy mind a ketten jól járhatunk, de valahogy nem akar összejönni, mert nem bízunk egymásban. Ilyenek a normális problémahelyzetek az életben. Mit segít ezen, ha ki tudom számolni, mennyi a kamatos kamat hozadéka? Ez a fajta problémaérzékenység tényleg kell az életben, legyen az ember orvos, mérnök vagy üzletember. Valami háttértudást talán azért ad a matematika, ha például a kamatos kamatról tudjuk, hogy mi, és hogyan lehet kiszámolni, vagy hogy legalábbis ki lehetne számolni, vagy tudjuk, hogy kinek kell szólni, hogy számolja már ki. Azt is megtanulom, hogy támaszkodjak arra, amit más mond.

KA: Élmény lehet?

ML:
Egy jó matekos azt látja elsősorban, hogy valami megoldás-e. Ez persze élmény. Emlékszem ilyen élményekre abból az időszakomból, amikor még viszonylag sok feladatot oldottam meg. Versenyfeladatokat, ilyesmiket. Az egy élmény, amikor az ember még nem tudja, hogy mennyi lesz az eredmény, még azt sem tudja, hogy tényleg ez-e a megoldás, csak éppen egy gondolatról úgy néz ki, hogy megoldás lesz a problémára. Aztán a többi már technika dolga. Ezt a fajta tudást nem is akarjuk átadni, helyette inkább módszereket adunk, technikákat. Ha valaki emellett úgy érvel, hogy "hiába érti, nem fogja tudni megcsinálni a példát", ebben igaza van. Csak akkor minek? Nem mondhatjuk, hogy "az élet problémáira készítünk fel", mert ott nem ilyenek a problémák.

KA: Lehetne-e másmilyen a matematikatanítás? Lehetne-e kellemes emlék azok számára is, akik kevésbé tehetségesek a matematikához?

ML:
El tudnék képzelni egy esszétípusú matematikaoktatást is. Olyat, ahol nem frusztráljuk a gyerekeket, mondjuk azzal, hogy egy másodfokú egyenlet megoldóképletét 25 milliószor alkalmazzuk, hanem elfogadom azt a megoldást, hogy másodfokú egyenlet, s aztán valahogy meg lehet csinálni. Ezzel befejezte a dolgozatot. Egy magyardolgozatot hogy bírálunk el például? Megnézzük, hogy a gondolat jó-e. Gimnáziumban ez azoknak, akik értelmesek, de nem a matekhoz, általában elég is volna. Ehelyett megtanítok tizenhétféle logaritmikus egyenletet megoldani és a tizennyolcadik félét vagy meg tudja oldani, vagy inkább nem. Ha különbözik a 17.-től, akkor nem. Legyünk igazságosak, annyi haszna ennek is van, hogy a 18. megoldását könnyebben meg fogja érteni. Ez furcsa matek lenne, persze. Nem azért, mert így nem lesz a diákból matematikus. Hanem mert akkor valami más tárgy kellene arra a célra, hogy tanulja meg tisztelni az okosokat, a nagyokat, még ha amúgy más szempontból buták is. A matematika van annyira periferikus dolog, hogy azért a legkevésbé kár. Ha az irodalomról, történelemről, kémiáról, biológiáról marad meg benne ez az érzés, az már sokkal nagyobb kár lenne alkalmasint, mert sokkal fontosabbak a mindennapi tájékozódáshoz, mint a matek. Hajlamos vagyok úgy látni, hogy nem tudatosan, mert nyilván nem így épült fel, de a matematika áldozatául esett az oktatás azon szükségletének, hogy ez a fajta rendre nevelés valahol történjék meg. A tekintélyelvűséget ez a tárgy szolgálhatja ki a legjobban, és bizonyos mértékig ez rendben is van. A matematika önmagában is nagyon jó játék - azoknak, akiknek van hozzá fülük vagy szemük - de az egészen más. Semmi köze az iskolai matematikaoktatáshoz. Néhány gyerek esetleg ennek ellenére ráérez - és persze van néhány matektagozat, ahol a tanárnak meg van engedve, hogy eljátsszék az anyaggal. Máshol azonban nem szabad. És nem vagyok benne biztos, hogy ez baj.

KA: Írnál tankönyvet?

ML:
Éppen ezért nem. Mert azelőtt, hogy az első betűt leírnám, meg kéne vívnom egy emancipációs harcot azért, hogy a matek másmilyen is lehessen. Nem azért lenne harc, mert erre nem lenne vevő, lennének erre vevő matematikatanárok, csak éppen akkor meg kell egyezni a más tantárgyakkal, hogy azok vegyék át azt a szerepet, amit most a matek olyan jól ellát. És innentől megy az egész a Nemzeti Alaptantervig. Tehát ha én azt akarom, hogy az én tanítványom jó eséllyel felvételizzen valamelyik szakra, ahol matek a felvételi, akkor ezt a fajta, matematikai tudásnak nem nevezhető tudást kell átadnom.
Összefoglalva: a matematika tényanyagot ad át, és azt az érzést, hogy az ilyeneket meg tudom tanulni máskor is. Azt, hogy ennek a feladatnak a megoldását megtanultam. Az irodalom is ilyesmit ad át sokszor, megtanultam, hogy József Attila 1905-ben született, anyja neve Pőcze Borbála, ezeket és ezeket írta, megtanultam néhány klisét is. Meg fogom tudni tanulni az adójogszabályokat vagy a gyártástechnológiát, ha éppen az kell. Az egyik énem persze azt mondja, hogy élvezzék a gyerekek a sulit. A másik énem azt mondja, hogy én például nagyon nem élvezem, amikor ki kell töltenem az adóbevallásomat, de meg kell csinálni. Az iskolának valamennyire fel kell készítenie arra, hogy az ilyen dolgokat meg tudjuk csinálni. Elsősorban ezt tanítjuk, ezt a metatudást. Rájönni arra, hogy például ahhoz, hogy az adóívet kitöltsem, vagy a televíziót behangoljam, nem kell külső kompetencia. Nekem is van ilyen tudásom. Persze a használati leírások megírói is gyakran ugyanabba a csapdába esnek, azt hiszik, hogy tudást kell elmagyarázniuk és elmagyarázzák az egész elektrofizikát egy használati útmutatóban. Nem közvetlenül tudást kell átadni, hanem a világban való mozgást.

Kónya Anikó


Varga Tamás Tanítványainak
Emlékalapítványa


1055 Budapest,Falk Miksa u 12.  I. em. 4.
E-mail: info@vtamk.hu
Adószám: 19671664-1-41
A közhasznú alapítvány számlaszáma:
14100127-49651349-01000000


Az ALAPÍTVÁNY ELNÖKE ÉS KÉPVISELŐJE: Pálfalvi Józsefné dr. és Oláh Vera
Minimum felbontás: 1024 x 768 | Grafika és kivitelezés: MandG